Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Throw Coins and Probability

동전 던지기 놀이를 통해 확률과 이항분포에 대해 알아보자.

동전 던지기

동전 1개를 던지면 앞 또는 뒤가 나올 것이다. 이상한 동전이 아니면 앞과 뒤가 나올 확률은 각각 1/2씩이 될 것이다. 동전 2개를 동시에 던지면, 둘다 앞이 나오거나, 둘다 뒤, 또는 앞뒤가 각각 나오게 될 것이고, 그 확률은 각각 1/4, 1/4, 1/2임은 쉽게 알 수 있다. 즉 1개의 동전을 던지면 나오는 상태(State)는 앞,뒤 2가지이고, 2개를 동시에 던지면 앞앞, 뒤뒤, 앞뒤 3가지가 된다.

일반화하면, 동전 N개를 동시에 던지면 나올 전체 경우의 수는 \(2^N\) 이고, N+1개의 상태(State)가 나타날 수 있으며, 그 상태중에서 앞이 k번, 뒤가 (N-k)번일 확률은 다음과 같다.

\begin{align}\frac{N!}{k!(N-k)!}\times \frac{1}{2^N}\end{align}

이러한 확률의 분포를 이항분포라고 하고, \((x+y)^N\) 을 전개할 때 나타나는 항과 계수와 같다.

\begin{align}(x+y)^2 &=x^2 + 2xy + y^2 \\ (x+y)^3 &=x^3 + 3{x^2}y + 3xy^2 + y^3 \\ (x+y)^N &=\sum_{k=0}^{N}\frac{N!}{k!(N-k)!}{x^k}{y^{N-k}}\end{align}

위에 수식에서 x, y는 각각의 사건이 일어날 확률이고, 동전 던지기에서는 각각 \(p = 1/2 = 0.5\) 이다.

경우의 수

경우의 수 관련하여 간단히 복습해 보자. 찬찬히 생각해 보면 순열과 조합에 대해 배웠던 기억이 있을 것이다.

순열(Permutation)은 n개에서 r개를 뽑아서 일렬로 나열하는 경우의 수이다. 처음에 n개중에서 선택하고, 그 다음에 n-1개중에서 선택, r개를 뽑을 때까지 계속해 나가면,

\begin{align}_n P_r &= \frac{n!}{(n-r)!} \\ &= n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\end{align}

조합(Combination)은 n개에서 r개를 뽑는 경우의 수이다. 순서가 필요 없으므로, n개에서 r개를 순서대로 뽑아서 나열하는 경우 수(Permutation)에서 나열하는 경우 수(\(r!\)) 만큼 나누면 된다.

\begin{align}_n C_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}\end{align}

위의 동전의 경우는 N개의 동전 중 앞면인 동전이 k개일 경우의 수이므로, N개에서 k개를 뽑는 조합과 같다.

동전 던지기 시뮬레이션

실제로 N개의 동전을 동시에 던져보면 개별 동전 끼리는 구별이 불가능하다면 N+1개의 상태중에 하나가 나타날 것이다. 그 중에서 N/2가 앞이고 N/2가 뒤인 경우가 나올 확률이 높겠지만 한 두번 던져서는 실제로 그렇게 나오지 않을 것이다.

하지만, 1번이 아니고 100,000번 던진다면? 실제로 해보자. 이것을 Monte-Carlo Simulation이라고 한다. 회수를 많이 할수록 이항분포와 같아질 것이다. 그래프에서 빨간색 선은 이항분포를 정규분포로 근사했을 때의 값이다.

하나 주목할 것은 동시에 던지는 동전의 수가 많아지면, 전체 상태 수 대비 실제 나타나는 상태의 비가 줄어듦을 알 수 있다. 만약 동전의 수가 아보가드로 수 (6.022e+23) 만큼 많아진다면? 계산 시간이 많이 걸려 여기서는 해보기 힘들겠지만 상상해 보자.

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